Pro jednoduchost zanedbáváme odpor vzduchu, a protože se jedná o pohyb v blízkosti zemského povrchu, můžeme tíhové pole považovat za homogenní.
Představte si, že z určité výšky nad zemským povrchem pustíte nějaké těleso. Těleso bude padat volným pádem a za nějaký čas dopadne na povrch. Potom ze stejné výšky hodíte těleso vodorovným směrem například rychlostí 2 m/s. Dopadne těleso na zemský povrch později nebo dříve než v případě volného pádu. Zkuste své tvrzení nějak zdůvodnit.
Ovládání appletu: minimalizujte okno Nákresna2. Pokud jej omylem zavřete, znovu načtěte stránku. V levém spodním rohu najdete tačítko Přehrát/Zastavit, můžete také ovládat pohyb tažením bodu po posuvníku t. Nyní si v appletu nastavte pomocí posuvníků určitou výšku a zjistěte dobu trvání volného pádu (v0 = 0 m/s) a potom dobu trvání pohybu při jisté nenulové rychlosti v0. Zatím nezobrazujte trajektorii ani vektory rychlosti a zrychlení, ať vás příliš nerozptylují.
Martin Vondrášek, Vytvořené GeoGebrou |
Zjistili jste, že těleso vržené (nebo upuštěné) v určité výšce dopadá na povrch za stejnou dobu, a to nezávisle na tom jakou rychlostí je vrženo.
Vysvětlení: Na těleso působí jen tíhová síla (připomínám, že zanedbáváme odpor vzduchu). Ta mu uděluje stále stejné zrychlení g ve svislém směru. Zastavte pohyb během letu tělesa a zobrazte vektor rychlosti, pak měňte počáteční rychlost vrhu a můžete sledovat složku vy. Jak je vidět, zůstává tato složka stále stejná i při různých počátečních rychlostech. Pokud si navíc zobrazíte trajektorii, vidíte, že dráha, kterou těleso urazí do času t (modrá křivka) je sice delší pro větší rychlosti v0, ale vzdálenost ve svislém směru je opět stejná pro všechny v0, i nulovou, tedy volný pád. To je také důvod, proč dopadnou tělesa na povrch za stejnou dobu.
Dále můžete zobrazit pouze vektor zrychlení a přesvědčit se, že během pohybu působí stále jen tíhové zrychlení g. Mění se ovšem jeho složky at (tečné zrychlení - způsobuje změnu velikosti vektoru rychlosti) a an (normálové zrychlení - způsobuje změnu směru vektoru rychlosti, zakřivuje trajektorii). Pokud je pohyb příliš rychlý, zastavte applet a ručně pohybujte posuvníkem t.
Chceme-li vypočítat do jaké vzdálenosti (ve vodorovném směru) těleso dopadá, stačí určit dobu pohybu a tu vynásobit rychlostí ve vodorovném směru (tedy rychlostí v0), neboť ta se během celého pohybu nemění. Ve vodorovném směru totiž nepůsobí žádná síla, která by měla brzdný, nebo zrychlující účinek. Doba pohybu je stejná jako by se jednalo o volný pád, jak jsme právě zjistili. Proto platí
,
kde h je výška pádu, g tíhové zrychlení a t doba pohybu. Vodorovná vzdálenost tedy bude .
Kromě délky vrhu můžete v apletu zjistit i délku dráhy jako délku křivky, po které se těleso pohybuje. Výpočet této dráhy přesahuje rámec středoškolského učiva.
Úkol 1: Zjistěte rychlost těsně před dopadem tělesa vrženého vodorovně počáteční rychlostí 8 m/s z výšky 35 m. Pro tíhové zrychlení použijte hodnotu 9,81 m/s2. Návod: jako první určete dobu pohybu (odpovídá době volného pádu viz výše), pak zobrazte vektor rychlosti v appletu a určete jednotlivé složky vx (odpovídá v0) a vy (rychlost volného pádu), teprve potom můžete zjistit výslednou rychlost. Jestli jste počítali dobře, zjistěte v appletu nebo zde.
Jak se během pohybu mění velikost rychlosti si můžete prohlédnout na nákresně2. V grafu je znázorněna velikost rychlosti jako funkce času v(t) a velikost tečné složky tíhového zrychlení jako funkce at(t). Ve stejném grafu je znázorněna i změna průměrné rychlosti během pohybu. U volného pádu. (v0 = 0) je funkce v(t) lineární, protože tečné zrychlení je totožné s tíhovým, které má konstantní hodnotu. Normálové zrychlení je nulové a trajektorií je polopřímka. U ostatních vodorovných vrhů sice působí také konstantní g, ale tečná složka, ovlivňující změnu velikosti rychlosti, se mění. Pohyb již není rovnoměrně zrychlený a funkce v(t) není lineární. Nenulová normálová složka tíhového zrychlení pak během pohybu mění směr vektoru rychlosti a zakřivuje tedy trajektorii.
Úkol 2: Pokuste se zjistit jaký tvar má trajektorie. Návod: vyjádřete si výšku nad povrchem y jako funkci vodorovné vzdálenosti x. Řešení
Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Martin Vondrášek. Dostupné z Metodického portálu www.rvp.cz, ISSN: 1802–4785. Provozuje Národní ústav pro vzdělávání, školské poradenské zařízení a zařízení pro další vzdělávání pedagogických pracovníků (NÚV).